"Le bolle di sapone sono sferiche": ci sembra un'affermazione banale ma dietro c'è un complesso problema matematico
All’apparenza effimere e leggere, le bolle di sapone custodiscono una delle questioni matematiche più complesse e affascinanti: la ricerca della forma che, a parità di volume, minimizza la superficie.
Una bolla di sapone nasce da un equilibrio sottile tra aria, acqua e tensioattivo. Il suo fascino non risiede soltanto nella trasparenza iridescente o nella leggerezza con cui galleggia, ma nella forma che assume: una sfera quasi perfetta. È così comune da sembrare scontata, eppure nasconde un significato fisico e matematico profondo.
La sfericità non è un vezzo estetico, ma la soluzione spontanea a un problema di minima energia. Un problema antico, che ha coinvolto fisici, ingegneri e matematici per oltre un secolo, con implicazioni che vanno ben oltre il gioco infantile.
Da un punto di vista matematico, una bolla rappresenta un caso reale di superficie minima, un concetto legato alla geometria differenziale. In termini pratici, la bolla assume la forma che consente di racchiudere un determinato volume d’aria con la minore area possibile. È un problema classico, risolto nel 1884 da H. A. Schwarz per il caso della sfera, ma che ha richiesto oltre un secolo per trovare conferma anche in configurazioni più complesse, come l’unione di due bolle di dimensioni diverse.
Il comportamento di una bolla è governato da principi di curvatura media costante e dalla pressione interna, come descritto dall’equazione di Young-Laplace. Quando due bolle si uniscono, la parete comune si curva verso quella con pressione minore, cioè la più grande. I punti d’incontro tra tre pareti seguono sempre angoli di 120 gradi, e solo quattro superfici possono convergere in un punto, formando un angolo di circa 109,5 gradi. Queste regole, note come leggi di Plateau, definiscono l’intera struttura di una schiuma.
Forme minime e calcoli analogici
Le bolle non sono sempre sferiche: se vincolate da strutture esterne, come telai metallici, possono assumere forme estremamente complesse. In questi casi, il film di sapone si dispone ancora una volta secondo una configurazione che minimizza la superficie. È per questo motivo che negli anni Sessanta l’ingegnere tedesco Frei Otto utilizzò i film saponosi per progettare strutture leggere, come il celebre padiglione della Germania Ovest all’Expo 67 di Montréal. I film si comportano come calcolatori analogici, capaci di risolvere problemi geometrici che richiederebbero enormi risorse computazionali.
L’efficienza di questa “computazione fisica” ha portato i ricercatori a studiare l’uso delle bolle anche in ambito non convenzionale, come modelli fisici per simulare soluzioni ottimali in ingegneria, biologia e informatica. Il vantaggio risiede nella capacità naturale del sistema di raggiungere rapidamente la configurazione a energia minima, senza calcoli espliciti.
Stabilità, coalescenza e comportamento fisico
Dal punto di vista fisico, la stabilità di una bolla è limitata dalla sottigliezza del film, spesso inferiore al micrometro. I principali meccanismi di rottura sono la gravità, che drena l’acqua verso il basso, e l’evaporazione, che assottiglia la pellicola. Per prolungarne la vita si possono modificare la viscosità del liquido o l’umidità dell’ambiente. Una delle miscele più efficaci è costituita da 85,9% acqua, 10% glicerolo, 4% detersivo e 0,1% gomma di guar, che rallenta l’effetto di Marangoni e garantisce bolle longeve.
Le bolle presentano anche interessanti proprietà di galleggiamento: il gas interno, composto prevalentemente da vapore acqueo, ha densità inferiore all’aria. Questo le rende sensibili alla temperatura e ne influenza il movimento. Infine, l’interazione con superfici solide o liquide genera effetti di bagnabilità, con angoli di contatto che variano a seconda dell’energia superficiale del materiale o della dimensione della bolla.